線形代数

Numpyで実装

ベクトルの生成

$\vec{a}=(1,2,3)$

a = np.array([[1,  2],  [3,  4]])  
print (a)
>> [1, 2, 3]

行列の生成

$A=\left( \begin{array}{ccc} 1+j & 2+2j & 3+3j\\ 4+4j & 5+5j & 6+6j \end{array} \right)$

a = np.array([[1,  2],  [3,  4]])  
print (a)
>>[[1, 2] 
   [3, 4]]

転置

$A^T=\left( \begin{array}{cc} 1+j & 4+j \\ 2+j & 5+j \\ 3+j & 6+j \end{array} \right)$

c1 = np.array([[1,2],[3,4]])
>>[[1 2]
   [3 4]]

d1 = c1.T
>>[[1 3]
   [2 4]]

行列の足し算

$A+A=\left( \begin{array}{ccc} 1+j & 2+2j & 3+3j\\ 4+4j & 5+5j & 6+6j \end{array} \right)+\left( \begin{array}{ccc} 1+j & 2+2j & 3+3j\\ 4+4j & 5+5j & 6+6j \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 2+2j & 4+4j & 6+6j\\ 8+8j & 10+10j & 12+12j \end{array} \right)$

# 前述の行列Aに対して
A_plus = A + A

引き算も同様である.

行列の定数倍

$2A=2\left( \begin{array}{ccc} 1+j & 2+2j & 3+3j\\ 4+4j & 5+5j & 6+6j \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 2+2j & 4+4j & 6+6j\\ 8+8j & 10+10j & 12+12j \end{array} \right)$

A_double = 2*A

行列の積 (ベクトルの場合は内積)

$AA^T=\left( \begin{array}{ccc} 1+j & 2+2j & 3+3j\\ 4+4j & 5+5j & 6+6j \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1+j & 4+j \\ 2+j & 5+j \\ 3+j & 6+j \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 0+28j & 0+64j \\ 0+64j & 0+154j \end{array} \right)$

# 前述の行列Aに対して
A_dot = np.dot(A, A.T)

ベクトルの内積もこの方法で算出できる.

アダマール積 (要素ごとの積)

$A\circ A=\left( \begin{array}{ccc} 1+j & 2+2j & 3+3j\\ 4+4j & 5+5j & 6+6j \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1+j & 2+2j & 3+3j\\ 4+4j & 5+5j & 6+6j \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 0+2j & 0+8j & 0+18j\\ 0+32j & 0+50j & 0+72j \end{array} \right)$

# 前述の行列Aに対して
A_hadamard = A * A

逆行列の生成

$P=\left( \begin{array}{cc} 1+j & 2+2j\\ 3+3j & 4+4j \end{array} \right)\text{に対し}P^{-1}=\left( \begin{array}{cc} -1+j & 0.5-0.5j\\ 0.75-0.75j & -0.25+0.25j \end{array} \right)$

P = np.array([[1+1j,2+2j],[3+3j,4+4j]])
P_inverse = np.linalg.inv(P)

ここでPとP_inverseの積を求めると確かに単位行列になる.

行列式

$\det{P}=\left| \begin{array}{ccc} 1+j & 2+2j\\ 3+3j & 4+4j \end{array} \right|=-4j$

# 前述の行列Pに対して
P_det = np.linalg.det(P)

ゼロ化

$Y=\left( \begin{array}{ccc} 0 + 0j& 0+0j & 0+0j\\ 0+0j & 0+0j & 0+0j \end{array} \right)$

Y = np.zeros((2,3), dtype = complex)

実数のみを扱う場合は省略してよい. 整数の場合は dtype = int にする.

単位行列

$I=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

I = np.eye(3)

np.eye(2,3) といったような正方行列でないものも可能.

行列の結合

$U=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right), V=\left( \begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array} \right)\text{ のとき }\\ [U|V]=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 7 & 8 \end{array} \right),$

yoko = np.concatenate((U,V), axis=1)

縦に結合する場合は axis=0 とすればよい.

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